Lecția 13. NUMERE REALE – I – NUMERE IRAȚIONALE- pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

6 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

Un număr care nu poate fi exprimat ca raportul a două numere întregi, se numește număr irațional.

Reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor iraționale formează mulțimea numerelor reale, notată cu

$ℝ$

Astfel, mulțimea numerelor iraționale se notează cu

$ℝ - ℚ$

Evident,

$ℝ - ℚ \subset ℝ, (ℝ - ℚ) \cap ℚ = \emptyset$

• Exemple de numere iraționale

$\sqrt{2}$

$1 + \sqrt{3}$

$\sqrt{5} - \sqrt{7}$

0,1011011101111…,

$π = 3, 141592653 . . . ≃ 3, 14, e = 2, 71828 . . . ≃ 2, 71$

, ( numărul lui Euler)

OBS.: Nu toate numerele scrise cu ajutorul „radicalului” sunt iraționale.

Exemplu:

$\sqrt{0, (4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \in ℚ$

• Rădăcina pătrată a unui număr pozitiv

$a \geq 0, \sqrt{a}$

este acel număr care verifică relația

${(\sqrt{a})}^{2} = a$

Exemple:

$\sqrt{9} = 3$

pentru că

${(\sqrt{9})}^{2} = 3^{2} = 9$

$\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}$

pentru că

${(\frac{7}{9})}^{2} = \frac{49}{81}$

• Reguli de calcul cu radicali

$\sqrt{a^{2 n}} = a^{n}, \forall a \geq 0, n \in ℕ$

$\sqrt{a^{2 n + 1}} = a^{n} \sqrt{a}, \forall a \geq 0, n \in ℕ$

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \forall a, b \geq 0$

$\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \forall a, b \geq 0, b \neq 0$

$\sqrt{a^{2} \cdot b} = | a | \sqrt{b}, \forall b \geq 0$

(scoaterea factorilor de sub radical)

$\sqrt{a^{2}} = |a|$

( pentru b=1 în egalitatea anterioară)

$a \sqrt{b} = (s e m n u l l u i a) \cdot \sqrt{a^{2} \cdot b}, \forall b \geq 0$

(introducerea factorilor sub radical)

• Compararea numerelor iraționale

$0 \leq a \leq b \Leftrightarrow \sqrt{a} \leq \sqrt{b}$

Exemplu:

$5 \sqrt{3} = \sqrt{5^{2} \cdot 3} = \sqrt{75} > \sqrt{64} = 8$

• Observații

Extragerea rădăcinii pătrate este o operație de ordinul 3, așadar se va efectua înaintea operațiilor de ordin 2 sau/și 1.

Exemplu:

${(\sqrt{25} - \sqrt{4})}^{2} = {(5 - 2)}^{2} = 3^{2} = 9$

• Riscuri (greșeli)

Să „extindem” regulile de calcul de la înmulțire/împărțire și la adunare sau scădere, de exemplu să considerăm greșit că

$\sqrt{25} - \sqrt{4} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}$

. Am văzut la observația anterioară că

$\sqrt{25} - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3 = \sqrt{9} \neq \sqrt{21}$

KIDI- sfat: Regula:„putem aduna/scădea DOAR mărimi de același fel” ( cunoscută la numerele raționale) se extinde și la numerele iraționale!!!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Chicky Briki a conceput un plan prin care să paralizeze toate acțiunile educative din România. Vor arunca cu bolovani spațiali uriași către toate școlile din țară. Va fi un dezastru. Victime, haos, sărăcie. Tu ai fost desemnat să-l oprești. Mult succes!

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.