Lecția 15. NUMERE REALE – III – ORDINEA EFECTUARII OPERAȚIILOR – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

4 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Ordinea efectuării parantezelor

Aceeași ca și la numerele raționale:

$(), [], \{\}$

• Ordinea efectuării operațiilor

– de ordin 3 ( ridicarea la putere și extragerea rădăcinii pătrate)

– de ordin 2 ( înmulțirea și împărțirea)

– de ordin 1 ( adunarea și scăderea)

• Observații

– Dacă operațiile sunt de același ordin, se efectuează în ordinea în care apar

– Dacă avem DOAR adunări, putem asocia

– Dacă avem DOAR înmulțiri, putem asocia

– Dacă se pot aplica regulile de calcul cu puteri, le aplicăm înaintea efectuării operațiilor de ridicare la putere

– Dacă se pot aplica regulile de calcul cu radicali, le aplicăm înaintea extragerii rădăcinii pătrate.

-Putem folosi, în unele exerciții, distributivitatea înmulțirii față de adunare/scădere

Exemplu:

$(\sqrt{24} - 2 \sqrt{3}) \sqrt{2} + 5 (\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}) = \sqrt{48} - 2 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 10 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} + 10 \sqrt{3} = 14 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6}$

$(a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d}) : (e \sqrt{f}) = a : e \sqrt{b : f} \pm c : e \sqrt{d : f}$

( în toate cazurile în care există aceste expresii)

Justificare:

$(a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d}) : (e \sqrt{f}) = \frac{a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d}}{e \sqrt{f}} = \frac{a \sqrt{b}}{e \sqrt{f}} \pm \frac{c \sqrt{d}}{e \sqrt{f}} = (a \sqrt{b}) : (e \sqrt{f}) \pm (c \sqrt{d}) : (e \sqrt{f}) = a : e \sqrt{b : f} \pm c : e \sqrt{d : f}$

Exemplu:

$(\sqrt{24} - 2 \sqrt{8}) : (2 \sqrt{2}) + (\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}) : \sqrt{3} = = (2 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}) : (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} + 2 = = \sqrt{3} - 2 + \sqrt{2} + 2 = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

• Alte exemple

${}^{\sqrt{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}} - {}^{\sqrt{6)}}{\frac{1}{\sqrt{6}}} = {}^{3)}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}$

${}^{\sqrt{6})}{\frac{1}{\sqrt{2}}} - {}^{\sqrt{2})}{\frac{1}{\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{12}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{12}} = {}^{\sqrt{6})}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{6}}} = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{6}$

$\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = |\sqrt{2} - 1| + |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 \sqrt{2}$

(pentru că

$\sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - \sqrt{1} > 0 \Rightarrow |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 \sqrt{2} + 1 > 0 \Rightarrow |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1)$

3) Aflați E=

$2 \sqrt{150} + 2 \sqrt{3} (3 \sqrt{12} - \sqrt{50}) - \sqrt{2} (\sqrt{18} - \sqrt{48})$

a) analizam daca putem efectua claculele din paranteză- scoatem factorii de sub radical:

$E = 2 \cdot 5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} (3 \cdot 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (3 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3}) \Rightarrow$

în paranteze nu putem efectua calculele

b) desfacem parantezele ( folosind distributivitatea înmulțirii față de scădere ( în cazul nostru), efectuam și prima înmulțire

$10 \sqrt{6} + 12 \cdot 3 - 10 \sqrt{6} - 3 \cdot 2 + 4 \sqrt{6}$

c) efectuăm înmulțirile: E=

$10 \sqrt{6} + 36 - 10 \sqrt{6} - 6 + 4 \sqrt{6}$

d) restrângem termenii asemenea, observând și faptul că avem două numere opuse (

$10 \sqrt{6}, - 10 \sqrt{6}$

) a căror sumă este, evident, 0:

$(36 - 6) + 4 \sqrt{6} = 30 + 4 \sqrt{6}$

e) Dacă este nevoie, mai putem da factor comun: E=

$2 (15 + 2 \sqrt{6})$

$2 \sqrt{3} - 7 \{8 \sqrt{2} - 4 [5 \sqrt{3} + 3 (4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3})] : 8\} = = 2 \sqrt{3} - 7 [8 \sqrt{2} - 4 (5 \sqrt{3} + 12 \sqrt{2} - 9 \sqrt{3}) : 8] = = 2 \sqrt{3} - 7 [8 \sqrt{2} - 4 (12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3}) : 8] = = 2 \sqrt{3} - 7 [8 \sqrt{2} - (48 \sqrt{2} - 16 \sqrt{3}) : 8] = = 2 \sqrt{3} - 7 (8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) = = 2 \sqrt{3} - 7 (2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) = = 2 \sqrt{3} - 14 \sqrt{2} - 14 \sqrt{3} = = - 12 \sqrt{3} - 14 \sqrt{2}$

• Media geometrică

Media geometrică a numerelor pozitive a și b este egală cu

$M_{g} = \sqrt{a \cdot b}$

Exemple:

1) Media geometrică a numerelor

$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{8}$

este

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2$

2) Verificați, prin calcul, că

$M_{a} \geq M_{g}$

, pentru numerele

$a = 28 \sqrt{3}, b = 12 \sqrt{3}$

Rezolvare:

$M_{a} = \frac{a + b}{2} = \frac{28 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{2} = \frac{40 \sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 20^{2}} = \sqrt{3 \cdot 400} = \sqrt{1200} M_{g} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{28 \sqrt{3} \cdot 12 \sqrt{3}} = \sqrt{336 \cdot 3} = \sqrt{1008}$