Lecția 16. ECUAȚII ȘI INECUAȚII – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

ECUAȚII

– O expresie matematică în care apare o singură dată semnul „=” și mai multe mărimi cunoscute sau necunoscute și care este adevărată pentru anumite valori ale necunoscutelor s.n. ECUAȚIE.

– Mărimile necunoscute se notează, de obicei cu x,y,z.

– Valorile necunoscutelor pentru care are loc egalitatea s.n. SOLUȚII sau rădăcini ale ecuației

– A afla rădăcinile unei ecuații înseamnă a REZOLVA ecuația

– Două ecuații care au aceleași soluții s.n. ECHIVALENTE

INECUAȚII 

– O expresie matematică în care apare o singură dată unul din semnele „

$\le , \ge <, >$

” și mai multe mărimi cunoscute sau necunoscute și care este adevărată pentru anumite valori ale necunoscutelor s.n. INECUAȚIE.

– Mărimile necunoscute se notează, de obicei cu x,y,z.

– Valorile necunoscutelor pentru care are loc egalitatea s.n. soluții sau rădăcini ale inecuației

– A afla rădăcinile unei inecuații înseamnă a REZOLVA inecuația

– Două inecuații care au aceleași soluții s.n. ECHIVALENTE

Notăm cu S= mulțimea soluțiilor (in)ecuației.

• Ecuații standard

• Fie a,b

$\in \mathrm{ℝ}$

(1) x+a=b, cu soluția x=b-a

$\Rightarrow S=\left\{b–a\right\}$

(2) x-a=b, cu soluția x=b+a

$\Rightarrow S=\left\{b+a\right\}$

(3) a-x=b, cu soluția x=a-b

$\Rightarrow S=\left\{a–b\right\}$

(4) ax=b, cu soluția x=

$\frac{b}{a}$

( pentru a

$\ne$

0);

$\Rightarrow S=\left\{\frac{b}{a}\right\}$

0x=b ( pentru b

$\ne$

0)

$\Rightarrow S=\varnothing$

0x=0

$\Rightarrow S=\mathrm{ℝ}$

(5) x:a=b, cu soluția x=a

$·$

b ( pentru a 0)

$\Rightarrow S=\left\{a·b\right\}$

(6) a:x=b, cu soluția x=

$\frac{a}{b}$

( pentru b

$\ne$

0)

$\Rightarrow S=\left\{\frac{a}{b}\right\}$

a:x=0, pentru a

$\ne$

0

$\Rightarrow S=\varnothing$

0:x=0

$\Rightarrow S={\mathrm{ℝ}}^{*}$

• Inecuații standard

• Fie a,b

$\in \mathrm{ℝ}$

x+a

$\le$

b, cu soluția x

$\le$

b-a

x-a

$\le$

b, cu soluția x

$\le$

b+a

a-x

$\le$

b, cu soluția x

$\ge$

a-b

ax

$\le$

b, cu soluția x

$\le \frac{b}{a}$

( pentru a>0);

x

$\ge \frac{b}{a}$

( pentru a<0 )

x:a

$\le$

b, cu soluția x

$\le$

ab ( pentru a>0)

x

$\ge$

ab ( pentru a<0)

Se raționează similar pentru celelalte trei tipuri de inegalități.

• Reguli de care trebuie să ținem cont

– Dacă ecuațiile/inecuațiile nu sunt în formă standard, le aducem la această formă, apoi aplicăm formulele învățate

– putem trece termenii dintr-un membru în altul, schimbându-le semnul

– la înmulțirea/împărțirea unei inegalităi cu un număr pozitiv, păstrăm sensul inegalității

– la înmulțirea/împărțirea unei inegalităi cu un număr negativ, SCHIMBĂM sensul inegalității

– NU împărțim NICIODATĂ cu 0!

• Exemple de ecuații

1)

$x+7=3\Rightarrow x=3–7\Rightarrow x=–4\Rightarrow S=\left\{–4\right\}$

2.

$3x–4=5x+6\Rightarrow 3x–5x=6+4\Rightarrow –2x=10\Rightarrow x=–\frac{10}{2}\Rightarrow x=–5\Rightarrow S=\left\{–5\right\}$

3)

$4\left(x–3\right)+5=–7\Rightarrow 4x–12–5=–7\Rightarrow 4x=–7+12–5\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=\frac{0}{4}\Rightarrow x=0\Rightarrow S=\left\{0\right\}$

• Exemple de inecuații

1)

$3–2x\ge 7\iff –2x\ge 7–3\iff –2x\ge 4\iff x\le \frac{4}{–2}\iff x\le 2$

2) Rezolvați în

$\mathrm{\mathbb{N}}$

$3x–4>–2x+6\iff 3x+2x>6+4\iff 5x>10\iff x>2\Rightarrow S=\left\{3, 4, 5, ...\right\}$

3)

$2\left(x–3\right)+5<2x–7\iff 2x–6+5<2x–7\iff 2x–2x<–7+6–5\iff 0x<–6\iff x\in \varnothing$

( orice valoare ar lua x, 0x=0>-6, deci inegalitatea nu poate să fie adevărată)

• Metoda „mersului invers”-ecuații

1)

$–2x+8=4\iff –2x=4–8\iff –2x=–4\iff x=\frac{–4}{–2}\iff x=2\Rightarrow S=\left\{2\right\}$

2)

$$\begin{gathered} 2+\left\{2–\left[2·\left(2–x\right):2\right]+2\right\}=2 ( conform (1\left)\right) \iff \\ \left\{2–\left[2·\left(2–x\right):2\right]+2\right\}=0( conform (2\left)\right) \iff \\ 4–\left[2·\left(2–x\right):2\right]=0\iff \\ 2·\left(2–x\right):2=4 ( conform (2\left)\right) \iff \\ \left(2–x\right):2=2( conform (4\left)\right) \iff \\ 2–x=4( conform (5\left)\right) \iff \\ x=–2( conform (3\left)\right) \iff \\ \Rightarrow S=\left\{–2\right\} \end{gathered}$$

• Observații 

– Dacă nu se menționează în enunț în ce mulțime trebuie rezolvată ecuația, înseamnă că soluțiile cerute sunt reale.

– Dacă se menționează în enunț o anume mulțime a soluțiilor, pentru concluzie trebuie NEAPĂRAT să ținem cont de acest aspect.

De exemplu, ecuația x+7=3are soluția

$S=\left\{–4\right\}$

(vezi exemplul1)

„ Rezolvați în

$\mathrm{\mathbb{N}}$

ecuația x+7=3” are soluția

$S=\varnothing$

pentru că valoarea găsită ( -4) nu este naturală, cum cere enunțul.

– Metoda „mersului invers” se poate aplica și la inecuații

• Riscuri (greșeli)

–  să nu scriem la final mulțimea soluțiilor

KIDI- sfat:

După rezolvarea ecuației/ inecuației, VERIFICĂM cerința din enunț!

–  să nu schimbăm semnul la trecerea dintr-un membru în altul al unui termen

KIDI- sfat:

putem să aplicăm varianta alternativă – de a adăuga/ scădea termenul care este scăzut/adunat: x+7=3|-7

–  să nu schimbăm sensul inegalităților când înmulțim ( sau împărțim) cu un număr negativ.

KIDI- sfat:

Mai întâi „scăpăm” de semnul – , înmulțind relația cu (-1) și schimbând sensul inegalităților.

De exemplu, în Exercițiul rezolvat 1)

$–2x\ge 4|\left(–1\right)\iff 2x\le –4\iff x\le \frac{–4}{2}\iff x\le –2$

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”