Lecția 25. FUNCȚIA DE GRADUL I – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit 

– Funcția de tipul

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

se numește FUNCȚIE LINIARĂ.

– Dacă

$a\ne 0$

, atunci funcția se numește FUNCȚIE DE GRADUL I.

Exemple:

$$\begin{gathered} f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=2x+3 \\ g:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, g\left(x\right)=x–10 \\ h:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, h\left(x\right)=–3x+4 \\ {f}_1:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f_1\left(x\right)=2x \\ {f}_2:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f_2\left(x\right)=\sqrt{2}x–\frac{1}{2} \end{gathered}$$

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

Valoarea funcției în „punctul”

$x_0$

este notată

$f\left(x_0\right)$

și se obține înlocuind,în exprimarea analitică, pe x cu

$x_0$

, adică

$f\left(x_0\right)=a{x}_0+b$

.

De exemplu:

$f\left(2\right)=2a+b$

, adică valoarea lui în 2 este 2a+b.

• Imaginea funcției 

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

Este mulțimea

$Imf=\left\{f\left(x\right)|x\in \mathrm{ℝ}\right\}=\mathrm{ℝ}$

• Funcții egale

Două funcții

$f, :\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, g\left(x\right)=cx+d a, b, c, d\in \mathrm{ℝ}$

sunt egale

$\iff a=c, b=d$

• Graficul funcției

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

Este mulțimea notată

$G_f=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)| x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

,

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}$

este mulțimea punctelor din plan

$M\left(x, y\right)$

, unde

$y=f\left(x\right)\iff y=ax+b$

care reprezintă ecuația unei drepte.

Pentru a=0, avem funcția constantă, a cărei reprezentare grafică este o dreaptă paralelă cu axa Ox pentru

$b\ne 0$

, chiar axa Ox pentru

$b=0$

.

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ},f\left(x\right)=ax+b A\left(x_A, y_a\right)\in G_f\iff f\left(x_A\right)=y_A\iff a{x}_A+b=y_A$

Evident,

$A\left(x_A, y_a\right)\notin G_f\iff f\left(x_A\right)\ne y_A$

De exemplu, pentru funcția

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x+1$

avem

$f\left(0\right)=1\iff A\left(0, 1\right)\in G_f, f\left(1\right)=2\ne 1\iff B\left(1, 0\right)\notin G_f$

Mențiune: am identificat deja

$G_f$

cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a\ne 0, G_f\cap Ox=\left\{A\left(–\frac{b}{a}, 0\right)\right\}$

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, , G_f\cap Oy=\left\{B\left(0, b\right)\right\}$

• Restricția la un interval din interval din 

$\mathrm{ℝ}$

$f:A\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a\ne 0$

,

$A$

interval de numere reale

–

$G_f$

este un segment pentru intervalele mărginite

–

$G_f$

este o semidreaptă pentru intervalele nemărginite

• Observații 

– Pentru a reprezenta grafic o funcție de gradul I, este suficient să identificăm două puncte, apoi trasăm dreapta determinată de acestea ( este unică!).

De exemplu:

$$\begin{gathered} f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3 \\ f\left(1\right)=1–3=–2\Rightarrow A\left(1, –2\right)\in G_f \\ f\left(2\right)=2–3=–1\Rightarrow B\left(2, –1\right)\in G_f \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f:[1, 2)\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3 \\ f\left(1\right)=1–3=–2\Rightarrow A\left(1, –2\right)\in G_f \\ f\left(2\right)=2–3=–1\Rightarrow B\left(2, –1\right)\in G_f \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f:[1, \infty )\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3 \\ f\left(1\right)=1–3=–2\Rightarrow A\left(1, –2\right)\in G_f \\ f\left(2\right)=2–3=–1\Rightarrow B\left(2, –1\right)\in G_f \end{gathered}$$

– Reprezentarea grafică se poate face și folosind intersecțiile cu axele de coordonate.

De exemplu, pentru

$$\begin{gathered} f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=–x+3 \\ f\left(x\right)=0\Rightarrow –x+3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow A\left(3, 0\right)\in G_f \\ f\left(0\right)=–0+3=3\Rightarrow B\left(0, 3\right)\in G_f \end{gathered}$$

• Coordonatele punctului aflat la intersecția reprezentărilor grafice a două funcții

– pentru abscisă : rezolvăm ecuația

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

. Dacă avem o soluție

$x_0$

, atunci intersecția cerută nu este mulțimea vidă

– pentru ordonată: calculăm

$y_0=f\left(x_0\right)$

. (Este recomandat, pentru verificare, să calculăm și

$g\left(x_0\right)$

– dacă nu va fi tot

$y_0$

, înseamnă că s-a strecurat o greșală!!!)

$\Rightarrow A\left(x_0, y_0\right)\in G_f\cap G_g$

De exemplu:

$\left.\begin{array}{r}f,g.\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x+4, g\left(x\right)=–x+2\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff x+4=–x+2\iff 2x=–2\iff x=–1\\ f\left(–1\right)=–1+4=3, g\left(–1\right)=–\left(–1\right)+2=3\end{array}\right\}\Rightarrow G_f\cap G_g=\left\{A\left(–1, 3\right)\right\}$

• Riscuri (greșeli)

– Să … greșim la calcule.

KIDI- sfat:

Deși sunt necesare două puncte pentru determinarea dreptei care este reprezentarea grafică, este recomandat să găsim trei puncte: dacă am greși cumva la unul din primele două puncte, ne putem da seama când nu putem trasa dreapta prin cele trei puncte obținute. ( probabilitatea de a greși la toate trei este mai mică decât de a greși la un punct).

De exemplu, dacă pentru funcția

$$\begin{gathered} f\to \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=–x+3 \\ f\left(x\right)=0\Rightarrow –x+3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow A\left(3, 0\right)\in G_f \\ f\left(0\right)=–0–3=–3\Rightarrow B\left(0, –3\right)\in G_f \\ f\left(2\right)=–2+3=1\Rightarrow C\left(2, 1\right)\in G_f \end{gathered}$$

, am calculat GREȘIT

$f\left(0\right)$

Evident, A,B,C nu sunt coliniare, deci este evident că este o greșală. Astfel, reluând calculul, putem corecta!!!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”