Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

30 puncte bonus

5 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

– Dacă A și B sunt două mulțimi nevide, iar

f

este o corespondență care asociază FIECĂRUI element din A UN SINGUR element din B, spunem că avem o funcție definită pe A cu valori în B. Scriem

f : A \to B

A \overset{f}{\to B}

– A se numește DOMENIU (de definiție), B se numește CODOMENIU (domeniu de valori)

– Corespondența se notează, de obicei, cu litere mici:

f, g, h, f_{1}, f_{2}, f^{‘}, f^{‘ ‘}, e t c

– Dacă A, B sunt mulțimi de numere, funcția se numește numerică.

– Cum A, B sunt mulțimi, iar acestea au 3 feluri de exprimare, pentru funcții vom avea 3 moduri de definire:

a) Prin diagrame

b) Printr-un tabel

c) Printr-o formulă analitică ( de obicei pentru A, B mulțimi infinite)

f : \{1, 2, 3\} \to \{1, 4, 10, 16\}, f (x) = x^{2}

• Exemple de corespondențe care NU sunt funcții

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = x - 3$

Valoarea funcției în „punctul”

x_{0}

este notată

f (x_{0})

și se obține înlocuind, in exprimarea analitică, pe x cu

x_{0}

, adică

f (x_{0}) = x_{0} - 3

De exemplu:

f (2) = 2 - 3 = - 1

, adică valoarea lui

f

în 2 este -1.

• Imaginea funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

I m f = \{f (x) | x \in A\}

= mulțimea valorilor funcției

Evident,

I m f \subset B

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

f (0) = 0 - 3 = - 3 f (1) = 1 - 3 = - 2 \Rightarrow I m f = \{- 3, - 2, - 1\} f (2) = 2 - 3 = - 1

• Funcții egale

Două funcții

f : A \to B, g : C \to D

se numesc EGALE dacă

\{\begin{cases} A = C \\ B = D \\ f (x) = g (x) \forall x \in A \end{cases}

Exemplu:

f, g : \{0, 1\} \to ℕ, f (x) = x, g (x) = x^{2}

, sunt egale pentru că au același domeniu, același codomeniu, iar

f (0) = 0 = 0^{2} = g (0), f (1) = 1 = 1^{2} = g (1)

• Graficul funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

G_{f} = \{(x, f (x)) | x \in A\}

, așadar o mulțime de perechi ordonate.

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

\begin{array}{r} f (0) = 0 - 3 = - 3 \\ f (1) = 1 - 3 = - 2 \\ f (2) = 2 - 3 = - 1 \end{array}\} \Rightarrow G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

f : A \to B

este mulțimea punctelor din plan

M (x, y)

, unde

(x, y) \in G_{f}

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3, G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

reprezentarea grafică =

\{A_{1} (0, - 3), A_{2} (1, - 2), A_{3} (2, - 1)\}

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

$A (z, t) \in G_{f} \Leftrightarrow f (z) = t$

Evident,

A (z, t) \notin G_{f} \Leftrightarrow f (z) \neq t

De exemplu, pentru funcția

f : ℚ \to ℝ, f (x) = \sqrt{2} x + 1

avem

f (0) = 1 \Leftrightarrow A (0, 1) \in G_{f} f (1) = \sqrt{2} + 1 \neq 0 \Leftrightarrow B (1, 0) \notin G_{f}

Mențiune: am identificat deja cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

Este dată de soluțiile ( dacă există) ale ecuației

f (x) = 0

De exemplu,

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

nu avem intersecția cu axa Ox, pentru că funcția nu ia valoarea 0.

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2, 3\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, avem

f (x) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in ℝ

, deci

A (3, 0) \in G_{f}

, fiind, așadar, intersecția cu axa Ox.

– pentru funcția

f : ℝ \to ℝ, f (x) = (x - 3) (x - 2)

, ecuația

f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 s a u x = 2 \Rightarrow O x \cap G_{f} = \{A (3, 0), B (2, 0)\}

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

Dacă 0 este în domeniul de definiție, atunci

O y \cap G_{f} = \{B (0, f (0))\}

De exemplu,

pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

O y \cap G_{f} = \{B (0, - 3)\}

Pentru funcția

f : \{1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, nu avem intersecția cu axa Oy, deoarece 0 nu este în domeniul de definiție.

• Observații

– În general, se lucrează cu funcții numerice, definite analitic.

– Funcția

f : A \subset ℝ \to ℝ, f (x) = a, a \in ℝ

se numește funcția constantă,

I m f = \{a\}

– Intersecția cu axa Ox poate să nu aibă elemente, să aibă un element, mai multe elemente, sau o infinitate de elemente.

– Intersecția cu axa Oy poate să nu aibă elemente, sau să aibă un singur element.

• Riscuri (greșeli)

Să confundăm

I m f

G_{f}

KIDI- sfat:

I m f \subset B, G_{f} \subset A X B

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Two Bruises a inventat un aspirator uriaș pentru creierele copiilor care nu sunt puternici mental. El aspiră toate cunoștințele acumulate. Tu poți să-i reziști?

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

Corespondența $f : \{- 1, 0, 1\} \to ℕ, f (x) = x$
$f : \{- 1, 0, 1\} \to ℕ, f (x) = 1$ . Alegeți varianta greșită
Funcțiile $f, g : \{0, 1, 2\} \to ℕ, f (x) = a x + 1, g (x) = x + b$ sunt egale. Atunci $a \cdot b =$