Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

30 puncte bonus

5 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

– Dacă A și B sunt două mulțimi nevide, iar

f

este o corespondență care asociază FIECĂRUI element din A UN SINGUR element din B, spunem că avem o funcție definită pe A cu valori în B. Scriem

f : A \to B

A \overset{f}{\to B}

– A se numește DOMENIU (de definiție), B se numește CODOMENIU (domeniu de valori)

– Corespondența se notează, de obicei, cu litere mici:

f, g, h, f_{1}, f_{2}, f^{‘}, f^{‘ ‘}, e t c

– Dacă A, B sunt mulțimi de numere, funcția se numește numerică.

– Cum A, B sunt mulțimi, iar acestea au 3 feluri de exprimare, pentru funcții vom avea 3 moduri de definire:

a) Prin diagrame

b) Printr-un tabel

c) Printr-o formulă analitică ( de obicei pentru A, B mulțimi infinite)

f : \{1, 2, 3\} \to \{1, 4, 10, 16\}, f (x) = x^{2}

• Exemple de corespondențe care NU sunt funcții

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = x - 3$

Valoarea funcției în „punctul”

x_{0}

este notată

f (x_{0})

și se obține înlocuind, in exprimarea analitică, pe x cu

x_{0}

, adică

f (x_{0}) = x_{0} - 3

De exemplu:

f (2) = 2 - 3 = - 1

, adică valoarea lui

f

în 2 este -1.

• Imaginea funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

I m f = \{f (x) | x \in A\}

= mulțimea valorilor funcției

Evident,

I m f \subset B

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

f (0) = 0 - 3 = - 3 f (1) = 1 - 3 = - 2 \Rightarrow I m f = \{- 3, - 2, - 1\} f (2) = 2 - 3 = - 1

• Funcții egale

Două funcții

f : A \to B, g : C \to D

se numesc EGALE dacă

\{\begin{cases} A = C \\ B = D \\ f (x) = g (x) \forall x \in A \end{cases}

Exemplu:

f, g : \{0, 1\} \to ℕ, f (x) = x, g (x) = x^{2}

, sunt egale pentru că au același domeniu, același codomeniu, iar

f (0) = 0 = 0^{2} = g (0), f (1) = 1 = 1^{2} = g (1)

• Graficul funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

G_{f} = \{(x, f (x)) | x \in A\}

, așadar o mulțime de perechi ordonate.

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

\begin{array}{r} f (0) = 0 - 3 = - 3 \\ f (1) = 1 - 3 = - 2 \\ f (2) = 2 - 3 = - 1 \end{array}\} \Rightarrow G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

f : A \to B

este mulțimea punctelor din plan

M (x, y)

, unde

(x, y) \in G_{f}

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3, G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

reprezentarea grafică =

\{A_{1} (0, - 3), A_{2} (1, - 2), A_{3} (2, - 1)\}

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

$A (z, t) \in G_{f} \Leftrightarrow f (z) = t$

Evident,

A (z, t) \notin G_{f} \Leftrightarrow f (z) \neq t

De exemplu, pentru funcția

f : ℚ \to ℝ, f (x) = \sqrt{2} x + 1

avem

f (0) = 1 \Leftrightarrow A (0, 1) \in G_{f} f (1) = \sqrt{2} + 1 \neq 0 \Leftrightarrow B (1, 0) \notin G_{f}

Mențiune: am identificat deja cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

Este dată de soluțiile ( dacă există) ale ecuației

f (x) = 0

De exemplu,

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

nu avem intersecția cu axa Ox, pentru că funcția nu ia valoarea 0.

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2, 3\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, avem

f (x) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in ℝ

, deci

A (3, 0) \in G_{f}

, fiind, așadar, intersecția cu axa Ox.

– pentru funcția

f : ℝ \to ℝ, f (x) = (x - 3) (x - 2)

, ecuația

f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 s a u x = 2 \Rightarrow O x \cap G_{f} = \{A (3, 0), B (2, 0)\}

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

Dacă 0 este în domeniul de definiție, atunci

O y \cap G_{f} = \{B (0, f (0))\}

De exemplu,

pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

O y \cap G_{f} = \{B (0, - 3)\}

Pentru funcția

f : \{1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, nu avem intersecția cu axa Oy, deoarece 0 nu este în domeniul de definiție.

• Observații

– În general, se lucrează cu funcții numerice, definite analitic.

– Funcția

f : A \subset ℝ \to ℝ, f (x) = a, a \in ℝ

se numește funcția constantă,

I m f = \{a\}

– Intersecția cu axa Ox poate să nu aibă elemente, să aibă un element, mai multe elemente, sau o infinitate de elemente.

– Intersecția cu axa Oy poate să nu aibă elemente, sau să aibă un singur element.

• Riscuri (greșeli)

Să confundăm

I m f

G_{f}

KIDI- sfat:

I m f \subset B, G_{f} \subset A X B

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Crocobat este un iubitor de bacterii. A creat o bacterie care îi face pe copii să nu mai vrea să iasă afară la joacă cu prietenii. Luptă acum să distrugi atacul bacterian.

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

$f : ℕ^{*} \to ℝ$ , codomeniul este
$f : ℝ \to ℝ, f (x) = 3 x - 1, P (a, 1) \in G_{f} \Rightarrow a =$
$f : ℝ \to ℝ, f (x) = 3 x - 1, P (a, 2 a) \in G_{f} \Rightarrow a =$

Poz.	Nume	Introdus pe	Puncte	Rezultat
Tabelul se încărcă
Nicio dată disponibilă

Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

Rezumat chestionar

Informații

Rezultate

Categorii

1. Întrebare

2. Întrebare

3. Întrebare

4. Întrebare

5. Întrebare

6. Întrebare

7. Întrebare

8. Întrebare

9. Întrebare

10. Întrebare

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

Fă-ți contul ACUM!
(și primești un cadou în valoare de 75 lei)

Știai ce s-a întâmplat azi în istorie?

Small Battles

Partener Principal:

Susținători activi:

Edituri prietene:

Parteneri educaționali:

Parteneri pentru românii din afara granițelor României:

KIDIBOT în lume:

Scor mediu
Scorul tău

Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

Rezumat chestionar

Informații

Rezultate

Categorii

1. Întrebare

2. Întrebare

3. Întrebare

4. Întrebare

5. Întrebare

6. Întrebare

7. Întrebare

8. Întrebare

9. Întrebare

10. Întrebare

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

Kidibot îți recomandă și:

Cele mai frumoase poezii

Degetica

Al doilea razboi mondial

Videouri recomandate:

#AskNASA? How Will Astronauts Dig on the Moon?

NASA's Mobile Launcher Moved to Launch Pad

Fă-ți contul ACUM!(și primești un cadou în valoare de 75 lei)

Știai ce s-a întâmplat azi în istorie?

Small Battles

Partener Principal:

Susținători activi:

Edituri prietene:

Parteneri educaționali:

Parteneri pentru românii din afara granițelor României:

KIDIBOT în lume:

Fă-ți contul ACUM!
(și primești un cadou în valoare de 75 lei)