Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

30 puncte bonus

4 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

– Dacă A și B sunt două mulțimi nevide, iar

f

este o corespondență care asociază FIECĂRUI element din A UN SINGUR element din B, spunem că avem o funcție definită pe A cu valori în B. Scriem

f : A \to B

A \overset{f}{\to B}

– A se numește DOMENIU (de definiție), B se numește CODOMENIU (domeniu de valori)

– Corespondența se notează, de obicei, cu litere mici:

f, g, h, f_{1}, f_{2}, f^{‘}, f^{‘ ‘}, e t c

– Dacă A, B sunt mulțimi de numere, funcția se numește numerică.

– Cum A, B sunt mulțimi, iar acestea au 3 feluri de exprimare, pentru funcții vom avea 3 moduri de definire:

a) Prin diagrame

b) Printr-un tabel

c) Printr-o formulă analitică ( de obicei pentru A, B mulțimi infinite)

f : \{1, 2, 3\} \to \{1, 4, 10, 16\}, f (x) = x^{2}

• Exemple de corespondențe care NU sunt funcții

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = x - 3$

Valoarea funcției în „punctul”

x_{0}

este notată

f (x_{0})

și se obține înlocuind, in exprimarea analitică, pe x cu

x_{0}

, adică

f (x_{0}) = x_{0} - 3

De exemplu:

f (2) = 2 - 3 = - 1

, adică valoarea lui

f

în 2 este -1.

• Imaginea funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

I m f = \{f (x) | x \in A\}

= mulțimea valorilor funcției

Evident,

I m f \subset B

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

f (0) = 0 - 3 = - 3 f (1) = 1 - 3 = - 2 \Rightarrow I m f = \{- 3, - 2, - 1\} f (2) = 2 - 3 = - 1

• Funcții egale

Două funcții

f : A \to B, g : C \to D

se numesc EGALE dacă

\{\begin{cases} A = C \\ B = D \\ f (x) = g (x) \forall x \in A \end{cases}

Exemplu:

f, g : \{0, 1\} \to ℕ, f (x) = x, g (x) = x^{2}

, sunt egale pentru că au același domeniu, același codomeniu, iar

f (0) = 0 = 0^{2} = g (0), f (1) = 1 = 1^{2} = g (1)

• Graficul funcției

$f : A \to B$

Este mulțimea notată

G_{f} = \{(x, f (x)) | x \in A\}

, așadar o mulțime de perechi ordonate.

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

\begin{array}{r} f (0) = 0 - 3 = - 3 \\ f (1) = 1 - 3 = - 2 \\ f (2) = 2 - 3 = - 1 \end{array}\} \Rightarrow G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

f : A \to B

este mulțimea punctelor din plan

M (x, y)

, unde

(x, y) \in G_{f}

De exemplu, pentru

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3, G_{f} = \{(0, - 3), (1, - 2), (2, - 1)\}

reprezentarea grafică =

\{A_{1} (0, - 3), A_{2} (1, - 2), A_{3} (2, - 1)\}

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

$A (z, t) \in G_{f} \Leftrightarrow f (z) = t$

Evident,

A (z, t) \notin G_{f} \Leftrightarrow f (z) \neq t

De exemplu, pentru funcția

f : ℚ \to ℝ, f (x) = \sqrt{2} x + 1

avem

f (0) = 1 \Leftrightarrow A (0, 1) \in G_{f} f (1) = \sqrt{2} + 1 \neq 0 \Leftrightarrow B (1, 0) \notin G_{f}

Mențiune: am identificat deja cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

Este dată de soluțiile ( dacă există) ale ecuației

f (x) = 0

De exemplu,

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

nu avem intersecția cu axa Ox, pentru că funcția nu ia valoarea 0.

– pentru funcția

f : \{0, 1, 2, 3\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, avem

f (x) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in ℝ

, deci

A (3, 0) \in G_{f}

, fiind, așadar, intersecția cu axa Ox.

– pentru funcția

f : ℝ \to ℝ, f (x) = (x - 3) (x - 2)

, ecuația

f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 s a u x = 2 \Rightarrow O x \cap G_{f} = \{A (3, 0), B (2, 0)\}

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

Dacă 0 este în domeniul de definiție, atunci

O y \cap G_{f} = \{B (0, f (0))\}

De exemplu,

pentru funcția

f : \{0, 1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

O y \cap G_{f} = \{B (0, - 3)\}

Pentru funcția

f : \{1, 2\} \to ℝ, f (x) = x - 3

, nu avem intersecția cu axa Oy, deoarece 0 nu este în domeniul de definiție.

• Observații

– În general, se lucrează cu funcții numerice, definite analitic.

– Funcția

f : A \subset ℝ \to ℝ, f (x) = a, a \in ℝ

se numește funcția constantă,

I m f = \{a\}

– Intersecția cu axa Ox poate să nu aibă elemente, să aibă un element, mai multe elemente, sau o infinitate de elemente.

– Intersecția cu axa Oy poate să nu aibă elemente, sau să aibă un singur element.

• Riscuri (greșeli)

Să confundăm

I m f

G_{f}

KIDI- sfat:

I m f \subset B, G_{f} \subset A X B

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Scalambaici a conceput un plan prin care să paralizeze toate acțiunile educative din România. Vor arunca cu bolovani spațiali uriași către toate școlile din țară. Va fi un dezastru. Victime, haos, sărăcie. Tu ai fost desemnat să-l oprești. Mult succes!

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Hei, vrei să-ți downloadezi toate diplomele?

Vrei să câștigi super-premiile GOLD?
Vrei să-ți ajuți colegii de clasă?
Vrei să primești 4 e-Book-uri frumoase lunar?
Vrei extra puncte?
Vrei extra-faimă?
Vrei să înveți lucruri noi, pe care nici majoritatea adulților nu le știu?
Vrei extra distracție?
Click aici

Jocuri recomandate

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020"

Fie funcția $f : \{- 1, 0, 1\} \to ℤ, f (x) = x . I m f =$ .
$f : ℝ \to ℝ, f (x) = 4 - x$ . Intersecția reprezentării grafice cu axa Ox este
$f : ℝ \to ℝ, f (x) = 4 - 2 x$ . Intersecția reprezentării grafice cu axa Oy este