Lecția 24. FUNCȚII – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit 

– Dacă  A și B sunt două mulțimi nevide, iar

$f$

este o corespondență care asociază FIECĂRUI element din A UN SINGUR element din B, spunem că avem o funcție definită pe A cu valori în B. Scriem

$f:A\to B$

sau

$A\stackrel{f}{\to B}$

– A se numește DOMENIU (de definiție), B se numește CODOMENIU (domeniu de valori)

– Corespondența se notează, de obicei, cu litere mici:

$f, g, h, f_1, f_2, f^{‘}, f^{‘‘}, etc$

– Dacă A, B  sunt mulțimi de numere, funcția se numește numerică.

– Cum A, B sunt mulțimi, iar acestea au 3 feluri de exprimare, pentru funcții vom avea 3 moduri de definire:

a) Prin diagrame

b) Printr-un tabel 

c) Printr-o formulă analitică ( de obicei pentru A, B mulțimi infinite)

$f:\left\{1, 2, 3\right\}\to \left\{1, 4, 10, 16\right\}, f\left(x\right)=x^2$

• Exemple de corespondențe care NU sunt funcții

• Valoarea unei funcții într-un „punct”

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

Valoarea funcției în „punctul”

$x_0$

este notată

$f\left(x_0\right)$

și se obține înlocuind, in exprimarea analitică, pe x cu

$x_0$

, adică

$f\left(x_0\right)=x_0–3$

.

De exemplu:

$f\left(2\right)=2–3=–1$

, adică valoarea lui

$f$

în 2 este -1.

• Imaginea funcției 

$f:A\to B$

Este mulțimea notată

$Imf=\left\{f\left(x\right)| x\in A\right\}$

= mulțimea valorilor funcției

Evident,

$Imf\subset B$

De exemplu, pentru

$f:\left\{0, 1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=0–3=–3 \\ f\left(1\right)=1–3=–2 \Rightarrow Imf=\left\{–3, –2, –1\right\} \\ f\left(2\right)=2–3=–1 \end{gathered}$$

• Funcții egale

Două funcții

$f:A\to B, g:C\to D$

se numesc EGALE dacă

$\left\{\begin{array}{l}A=C\\ B=D\\ f\left(x\right)=g\left(x\right) \forall x\in A\end{array}\right.$

Exemplu:

$f,g:\left\{0, 1\right\}\to \mathrm{\mathbb{N}}, f\left(x\right)=x, g\left(x\right)=x^2$

, sunt egale pentru că au același domeniu, același codomeniu, iar

$f\left(0\right)=0=0^2=g\left(0\right), f\left(1\right)=1=1^2=g\left(1\right)$

• Graficul funcției 

$f:A\to B$

Este mulțimea notată

$G_f=\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)| x\in A\right\}$

, așadar o mulțime de perechi ordonate.

De exemplu, pentru

$f:\left\{0, 1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

$\left.\begin{array}{r}f\left(0\right)=0–3=–3\\ f\left(1\right)=1–3=–2\\ f\left(2\right)=2–3=–1\end{array}\right\}\Rightarrow G_f=\left\{\left(0,–3\right), \left(1, –2\right), \left(2, –1\right)\right\}$

• Reprezentarea grafică ( geometrică) a funcției

$f:A\to B$

este mulțimea punctelor din plan

$M\left(x, y\right)$

, unde

$\left(x, y\right)\in G_f$

De exemplu, pentru

$f:\left\{0, 1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3, G_f=\left\{\left(0, –3\right), \left(1, –2\right), \left(2, –1\right)\right\}$

reprezentarea grafică =

$\left\{A_1\left(0, –3\right), A_2\left(1, –2\right), A_3\left(2, –1\right)\right\}$

Important: Deseori reprezentării grafice i se spune „grafic” pentru că există o relație biunivocă între cele două.

• Apartenența unui punct la graficul unei funcții

$A\left(z, t\right)\in G_f\iff f\left(z\right)=t$

Evident,

$A\left(z, t\right)\notin G_f\iff f\left(z\right)\ne t$

De exemplu, pentru funcția

$f:\mathrm{\mathbb{Q}}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=\sqrt{2}x+1$

avem

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=1\iff A\left(0, 1\right)\in G_f \\ f\left(1\right)=\sqrt{2}+1\ne 0\iff B\left(1,0\right)\notin G_f \end{gathered}$$

Mențiune: am identificat deja cu reprezentarea grafică.

• Intersecția cu axa Ox ( a reprezentării grafice)

Este dată de soluțiile ( dacă există) ale ecuației

$f\left(x\right)=0$

.

De exemplu,

–  pentru funcția

$f:\left\{0, 1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

nu avem intersecția cu axa Ox, pentru că funcția nu ia valoarea 0.

– pentru funcția

$f:\left\{0, 1, 2, 3\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

, avem

$f\left(x\right)=0\iff x–3=0\iff x=3\in \mathrm{ℝ}$

, deci

$A\left(3, 0\right)\in G_f$

, fiind, așadar, intersecția cu axa Ox.

– pentru funcția

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=\left(x–3\right)\left(x–2\right)$

, ecuația

$f\left(x\right)=0\iff x=3 sau x=2\Rightarrow Ox\cap G_f=\left\{A\left(3, 0\right), B\left(2, 0\right)\right\}$

.

• Intersecția cu axa Oy ( a reprezentării grafice)

Dacă 0 este în domeniul de definiție, atunci

$Oy\cap G_f=\left\{B\left(0, f\left(0\right)\right)\right\}$

De exemplu,

pentru funcția

$f:\left\{0, 1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

,

$Oy\cap G_f=\left\{B\left(0, –3\right)\right\}$

Pentru funcția

$f:\left\{1, 2\right\}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=x–3$

, nu avem intersecția cu axa Oy, deoarece 0 nu este în domeniul de definiție.

• Observații

– În general, se lucrează cu funcții numerice, definite analitic.

– Funcția

$f:A\subset \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a, a\in \mathrm{ℝ}$

se numește funcția constantă,

$Imf=\left\{a\right\}$

.

– Intersecția cu axa Ox poate să nu aibă elemente, să aibă un element, mai multe elemente, sau o infinitate de elemente.

– Intersecția cu axa Oy poate să nu aibă elemente, sau să aibă un singur element.

• Riscuri (greșeli) 

Să confundăm

$Imf$

cu

$G_f$

.

KIDI- sfat:

$Imf\subset B, G_f\subset AXB$

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L   KIDI-10”