Lecția 9. PROPORȚII – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

0 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

Noțiuni de reamintit

Egalitatea a două rapoarte se numește proporție

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ este o proporție ( a, b, c, d

$\in ℚ$ , b, d

$\neq$ 0 )

a și d se numesc MEZI

b și d se numesc EXTREMI

Proprietatea fundamentală a proporțiilor

Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$ (

$b, d \neq 0$ )

Reciproc: Dacă

$a \cdot d = b \cdot c$ , atunci a, b, c, d pot fi termenii unei proporții.

Aflarea unui termen dintr-o proporție

$u n_e x t r e m = \frac{p r o d u s u l m e z i l o r}{c e l ă l a l t e x t r e m} u n - m e z = \frac{p r o d u s u l e x t r e m i l o r}{c e l ă l a l t m e z}$

Exemplu:

$\frac{3}{x} = \frac{6}{12} \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 12}{6} = 6$

Proporții derivate

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

1.Cu aceeași termeni ( în toate cazurile în care numitorii sunt nenuli)

– schimbarea mezilor între ei:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

– schimbarea extremilor între ei:

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

– inversarea rapoartelor:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Cu alți termeni: ( în toate cazurile în care numitorii sunt nenuli)

– prin adunări:

$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$ ,

$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ ,

$\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$ ;

– prin scăderi:

$\frac{a}{b} = \frac{a - c}{b - d}$ ,

$\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$ ,

$\frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d}$ ;

– prin înmulțiri:

$\frac{k \cdot a}{b} = \frac{k \cdot c}{d}$ ,

$\frac{a}{k \cdot b} = \frac{c}{k \cdot d}$ ,

$\frac{k \cdot a}{k \cdot b} = \frac{c}{d}$ ;

– prin împărțiri:

$\frac{a : k}{b} = \frac{c : k}{d}$ ,

$\frac{a}{b : k} = \frac{c}{d : k}$ ,

$\frac{a : k}{b : k} = \frac{c}{d}$ ;

– prin ridicări la putere:

${(\frac{a}{b})}^{n} = {(\frac{c}{d})}^{n}$

Obs.: se pot „restânge” acestea la

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{k \cdot a}{m \cdot a + n \cdot b} = \frac{k \cdot c}{m \cdot c + n \cdot d}$ ( în condițiile în care există aceste rapoarte).

Șir de rapoarte egale

Mai multe rapoarte care au aceeași valoare, formează un șir de rapoarte egale:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

Proprietate:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}}$ ( unde