MULȚIMI (clasa a VIII-a)

5 puncte bonus

1 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

(1)

Noțiuni de reamintit

MULȚIMEA este un ansamblu ( grupare) de obiecte care pot fi la fel sau pot fi diferite.
Obiectele unei mulțimi s.n. ELEMENTELE mulțimii.
O mulțime formată din numere s.n. MULȚIME NUMERICĂ.
Numărul de elemente al unei mulțimi s.n. CARDINALUL mulțimii, notat Card A( pentru mulțimea A).

După cardinal, mulțimile se clasifică în – mulțimi FINITE

– mulțimi INFINITE

Mulțimile pot fi reprezentate – prin diagrame

– prin enumerare

– printr-o proprietate specifică tuturor elementelor

Exemple: A ={ 0 ,1, 2 }- mulțime numerică finită ( exprimată prin enumerare)

B={ x| x este număr par }- mulțime numerică infinită ( exprimată printr-o proprietate )

Uhubau a mâncat toată biblioteca școlii Nr. 3 din orașul vecin. Crezi că poți să-i dovedești că tu ești mai deștept?

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

MULȚIMI NUMERICE IMPORTANTE

ℕ

={ 0, 1, 2, … } – mulțimea numerelor naturale

ℕ^{*}

={ 1, 2, 3, …} – mulțimea numerelor naturale nenule

ℤ

= { …, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} – mulțimea numerelor întregi

ℤ^{*}

= { …, -2, -1, 1, 2, …} – mulțimea numerelor întregi nenule

ℤ_{-}

={ …, -3, -2, -1} – mulțimea numerelor întregi negative

ℚ = {\frac{m}{n} | m, n \in ℤ, n \neq 0}

– mulțimea numerelor raționale

ℝ ℚ

– mulțimea numerelor iraționale

ℝ

– mulțimea numerelor reale.

MULȚIMEA VIDĂ

– Mulțimea care nu are niciun element s.n. MULȚIMEA VIDĂ.

Mulțimea vidă se notează cu

\emptyset

Exemplu: mulțimea copiilor din clasa a VIII-a care au o înălțime mai mare de 3m.

APARTENENȚĂ

– Un element a APARȚINE unei mulțimi A dacă se află printre elementele mulțimii A. Scriem a

\in

– Un element b NU APARȚINE unei mulțimi A dacă NU se află printre elementele mulțimii A. Scriem b

\notin

Exemplu: A= { 0,1}, atunci 1

\in

A și 2

\notin

INCLUZIUNE

– O mulțime S s.n. SUBMULȚIME a mulțimii A dacă orice element din S este și în A.

– S submulțime a mulțimii A, notăm S

\subset

A ( A

\supset

S ) . Spunem „S inclus în A” ( „A include S”)

Exemplu: A={ 0, 1, 4, 10}, S= { 0,1}. Evident, S

\subset

A, A

\subset

\emptyset \subset

OBSERVAȚIE: Este suficient ca un singur element din mulțimea B să nu fie din mulțimea A, pentru a avea B

⊄

A- adică mulțimea B nu este inclusă în mulțimea A.

Pentru A= { 0, 1, 4, 10} , B= { 0, 2}

⊄

MULȚIMI EGALE

– Două mulțimi s.n.EGALE dacă au aceleași elemente.

– Dacă mulțimile A și B sunt egale, scriem A= B .

– Dacă mulțimile A și B nu sunt egale, notăm A

\neq

OBSERVAȚIE: – Pentru a arăta că A=B este suficient să arătăm că A

\subset

B și B

\subset

– Pentru a arăta că A

\neq

B, este suficient să arătăm ( de exemplu) că în A este un element care nu este în B.

Evident: A=B

\Rightarrow

CardA=CardB, dar CardA= Cardb

\Rightarrow

A= B.

De exemplu, A= { 0, 1} B= { 0, 2}, CardA=CardB=2, iar A

\neq

REZULTATE IMPORTANTE

ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ

ℝ ℚ \subset ℝ

Așadar, orice număr natural este întreg, rațional, real.

Nu orice număr real este natural, sau întreg ( de exemplu).

Exemplu

1 + \sqrt{3} \in ℝ, 1 + \sqrt{3} \notin ℕ

Sunt numere reale care nu sunt ( de exemplu) întregi. Exemplu:

\sqrt{2} \in ℝ ℚ, \sqrt{2} \notin ℤ

OPERAȚII CU MULȚIMI

A \cup B = {x | x \in A s a u x \in B}

– reuniunea mulțimilor A și B

A \cap B = {x | x \in A ș i x \in B}

– intersecția mulșimilor A și B

( Două mulțimi care nu au elemente comune s.n. DISJUNCTE, deci intersecția lor este

\emptyset

A B = {x | x \in A ș i x \notin B}

– diferența mulțimilor A și B.

Exemplu: A= {0, 1, 4, 10} , B ={0, 1, 3, 5 }

\Rightarrow A \cup B = {0, 1, 3, 4, 5, 10}

A \cap B = {0, 1}

A B = {4, 10}

B A = {3, 5}

OBSERVAȚII

Mulțimile se notează cu litere mari.
Un element se scrie o singură dată într-o mulțime.
Ordinea scrierii elementelor într-o mulțime nu contează.
Mulțimea vidă are cardinalul 0, deci este finită.
$A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A, A B \neq B A (C h i a r (A B) \cap (B A) = \emptyset)$