Lecția 20. FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

7 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} {(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c {(a - b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c + 2 a c {(a + b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 b c - 2 a c {(a - b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 a c$

• Exemple

${(1 + x)}^{2} = 1 + 2 x + x^{2} {(2 x - 3 y)}^{2} = 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} {(1 + x - 2 y)}^{2} = 1 + x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 4 x y - 4 y$

• Observații

Aceste formule au și interpretări geometrice ( care restricționează totuși, concluzia, la numere reale pozitive- lungimi de segmente)

De exemplu:

Pătratul mare are latura egală cu

$(a + b)$ , deci aria sa va fi

${(a + b)}^{2}$ , alcătuită din două arii de pătrate cu laturile respectiv a și b, deci ariile de

$a^{2}, b^{2}$ și două dreptunghiuri, fiecare cu aria

$a b$ pentru că laturile au lungimile a, respectiv b. Extinderea la numere negative se face ținând cont că scăderea este o adunare ( cu opusul).

• Aplicații

Raționalizarea numitorului de forma

$(a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d})$ : se amplifică fracția cu expresia „conjugată”, adică

$(a \sqrt{b} - c \sqrt{d}), r e s p e c t i v (a \sqrt{b} + c \sqrt{d})$ Exemple:

${}^{2 + \sqrt{5)}}{\frac{3}{2 - \sqrt{5}}} = \frac{3 (2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = - 3 (2 + \sqrt{5})$ 2)

${}^{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{\frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{{(3 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{18 - 12} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6}$ • Problemă: Calculați

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ , dacă

$x + \frac{1}{x} = a$ Rezolvare:

${(x + \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2$ • Riscuri (greșeli)

– să uităm formulele de calcul prescurtat.

KIDI- sfaturi:

– dacă nu suntem siguri, efectuăm calculul.

De exemplu

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , pentru că ab și ba sunt termeni asemenea, ținănd cont de comutativitatea înmulțirii.

– efectuăm pe rând fiecare calcul, nu mai multe odată.

De exemplu:

$(\sqrt{2} x - \sqrt{3} y) (\sqrt{2} x + \sqrt{3} y) = {(\sqrt{2} x)}^{2} - {(\sqrt{3} y)}^{2} = 2 x^{2} - 3 y^{2}$ – să aplicăm greșit a treia formulă. De exemplu:

$(1 + x) (x - 1) = 1^{2} - x^{2}$ – greșit

KIDI- sfat:

identificăm numerele „a” și „b” din formulă, după paranteza în care avem semnul „-”

$(1 - x) (x + 1) = (x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1^{2} = x^{2} - 1$ – am folosit comutativitatea înmulțirii, apoi comutativitatea adunării.

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Stupidika a conceput un plan prin care să paralizeze toate acțiunile educative din România. Vor arunca cu bolovani spațiali uriași către toate școlile din țară. Va fi un dezastru. Victime, haos, sărăcie. Tu ai fost desemnat să-l oprești. Mult succes!

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 20. FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT – pregătirea Evaluării Naționale"

${(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} =$
Calculând $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ , obținem
$a = \sqrt{8}, b = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \Rightarrow \frac{a + 2}{a - 2} - b =$