Lecția 27. SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

$\left\{\begin{array}{l}ax+b=c\\ dx+e=f\end{array}\right.$ $a, b, c, d, e, f\in \mathrm{ℝ}$

, este un sistem de două ecuații cu două necunoscute: x și y.

• Metoda substituției

Din una dintre ecuații se scrie una din necunoscute, în funcție de cealaltă ( de exemplu: din a doua ecuație

$x=\frac{f–ey}{d}$

, dacă

$d\ne 0$

), se introduce în cealaltă ecuație (

$a\frac{f–ey}{d}+by=c$

) și se va obține o ecuație de gradul I cu cealaltă necunoscută, care se va rezolva. Valoarea obținută se va folosi pentru aflarea necunoscutei

Exemplu:

$\left\{\begin{array}{l}2x–y=5\Rightarrow y=2x–5\\ 3x+4y=13\Rightarrow 3x+4\left(2x–5\right)=13\Rightarrow 11x=33\Rightarrow x=3\Rightarrow y=2·3–5\Rightarrow y=1\end{array}\Rightarrow S=\left\{\left(3, 1\right)\right\}\right.$

• Metoda reducerii

Înmulțim ecuațiile (obținând, astfel, ecuații echivalente cu cele inițiale) astfel încât una din necunoscute să aibă coeficienți opuși în cele două ecuații. Adunând noile ecuații, va disparea una din necunoscute și vom afla cealaltă necunoscută, după care vom înlocui valoarea obținută în una din ecuații, obținând cealaltă rădăcină.

$\left\{\begin{array}{l}2x–y=5|·4\\ 3x+4y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}8x–4y=20\\ 3x+4y=13\end{array}\right.$

______________

$11x =33\Rightarrow x=3\Rightarrow 2·3–y=5\Rightarrow y=6–5\Rightarrow y=1\Rightarrow S=\left\{\left(3, 1\right)\right\}$

• Alte exemple:

1. $\left\{\begin{array}{l}2x–y=5 |·\left(–2\right)\\ 4x–2y=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}–4x+2y=–10\\ 4x–2y=10\end{array}\right.\Rightarrow 0x+0y=0$, relație verificată de o infinitate de perechi de forma

   $\left(x, y=2x–5\right)\Rightarrow S=\left\{\left(x, 2x–5\right)| x\in \mathrm{ℝ}\right\}$. În această situație cele două ecuații sunt echivalente.

2. $\left\{\begin{array}{l}2x–y=5 |·\left(–2\right)\\ 4x–2y=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}–4x+2y=–10\\ 4x–2y=12\end{array}\right.\Rightarrow 0x+0y=2$, relație imposibilă, oricare ar fi numerele reale x, y.

   $\Rightarrow S=\varnothing$. În această situație cele două drepte ( reprezentările grafice) sunt paralele.

• Aplicații: rezolvarea unor probleme.

1) Suma a două numere este egală cu 12, iar diferența este egală cu 2. Aflați numerele.

Rezolvare:

Fie x, y numerele. Cum diferența lor nu este 0, înseamna că nu sunt egale. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că . Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x–y=2\end{array}\right.adunând cele două egalități\Rightarrow 2x =14\Rightarrow x=7\Rightarrow 7+y=12\Rightarrow y=5$

Numerele sunt 7 și 5.

2) Într-un bloc sunt 22 de apartamente cu 3 sau 4 camere. Știind că sunt în total 78 de camere, aflați câte apartamente sunt cu 3 camere și câte sunt cu 4 camere.

Rezolvare:

Fie x= numărul apartamentelor cu 3 camere, y = numărul apartamentelor cu 3 camere,

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=22|·\left(–3\right)\\ 3x+4y=78\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}–3x–3y=–66\\ 3x+4y=78\end{array}\right.\Rightarrow y=12\Rightarrow x+12=22\Rightarrow x=10$

Sunt 10 apartamente cu câte 3 camere și 12 apartamente cu câte 4 camere.

3) Dacă într-o sală de clasă stau câte doi elevi într-o bancă, 5 elevi nu ar avea loc, iar dacă stau câte 3 elevi într-o bancă, rămân 3 bănci goale. Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?

Rezolvare:

Fie e= numărul elevilor,  b = numărul băncilor

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\left\{\begin{array}{l}2b+5=e\\ 3\left(b–3\right)=e\end{array}\Rightarrow 2b+5=3\left(b–3\right)\right.\Rightarrow b=14\Rightarrow 3=33$

Sunt 33 de elevi și 14 bănci.

• Observații:

1) Indiferent de ordinea în care am aflat soluțiile, în prima poziție se trece valoarea corespunzătoare primei necunoscute!

2) Ce le două metode sunt exacte, dar dacă avem nevoie de o aproximare, putem folosi METODA GRAFICĂ: reprezentăm grafic dreapta soluțiilor pentru cele două ecuații și intersecția acestora ( dacă există) ne va da indicii cu privire la soluție.

• Riscuri (greșeli) 

– să scriem pe prima poziție a perechii- soluție, prima valoare obținută sau să…greșim la calcule.

KIDI- sfat: Verificăm dacă valorile obținute sunt soluții pentru ambele ecuații!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Limită de timp: 0

Rezumat chestionar

0 din 10 întrebări finalizate

Întrebări:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10

Informații

.

Ce tragedie! Caraplix vrea să conducă o echipă de crocobeți să-ți atace școala. Dejoacă-i planurile mârșave.

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Ai finalizat deja chestionarul mai înainte. De aceea nu-l poți relua.

Chestionarul se încărcă...

Trebuie să te autentifici sau să te înregistrezi pentru a începe chestionarul.

Trebuie să termini următorul chestionar pentru a începe acest chestionar:

Rezultate

0 din 10 întrebări au răspunsuri corecte

Durată de răspuns:

Timpul a trecut

Ai obținut 0 din 0 de puncte posibile, (0)

Scor mediu
Scorul tău

Categorii

1. Fără categorie 0%

• Din păcate, nu ai răspuns corect de suficient de multe ori. Așa că nu ai primit nici un punct. Fii mai atent data viitoare.

Creează-ți contul KIDIBOT sau, dacă îl ai deja, loghează-te. Astfel nu vei pierde punctele castigate cu greu 🙂

maxim de puncte 10

Poz.	Nume	Introdus pe	Puncte	Rezultat
Tabelul se încărcă
Nicio dată disponibilă

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10

1. Cu răspuns
2. Reia

1. Întrebarea 1 din 10

   1. Întrebare

   1 puncte
   Soluția sistemului $\left\{\begin{array}{l}x-y-4=0\\ 2x+3y-44=0\end{array}\right.$ este

   • $\left\{\left(10,-6\right)\right\}$
   • $\left\{\left(10,6\right)\right\}$
   • $\varnothing$
   • $\left\{\left(-10,6\right)\right\}$
   Corect
   

   Incorect
   
2. Întrebarea 2 din 10

   2. Întrebare

   1 puncte
   Dacă , $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 3x-y=18\end{array}\right.,\left(x_0,y_0\right)$ este soluția sistemului, atunci $y_0-x_0=$

   • -5
   • -8
   • -3
   • 2
   Corect
   

   Incorect
   
3. Întrebarea 3 din 10

   3. Întrebare

   1 puncte
   3kg de mere și 2 kg de pere costă 19 lei, iar 2kg de mere și 3kg de pere costă 21 de lei. Atunci 5kg de mere vor costa

   • 10 lei
   • 25 de lei
   • 20 de lei
   • 15 lei
   Corect
   

   Incorect
   
4. Întrebarea 4 din 10

   4. Întrebare

   1 puncte
   Determinați funcția liniară al cărei grafic trece prin punctele de coordonate A(2,-1), B(3,1).

   • F(x) = 2x
   • F(x) = 2x-5
   • F(x) = 5x
   • F(x) = 5x-2
   Corect
   

   Incorect
   
5. Întrebarea 5 din 10

   5. Întrebare

   1 puncte
   Andreea vrea să aranjeze cărție de matematică și literatură pe rafturile bibliotecii. Dacă asează câte 17 pe un raft, rîmân 15 cărți , iar dacă așează câte 22, pe ultimul raft vor fi doar 12 cărți. Câte cărți are, în total, Andreea?

   • 100
   • 56
   • 125
   • 78
   Corect
   

   Incorect
   
6. Întrebarea 6 din 10

   6. Întrebare

   1 puncte
   Soluția sistemului $\left\{\begin{array}{l}x+y=a\\ 3x-y=b\end{array}\right.$ este perechea . Atunci $a·b-3=$

   • 1
   • 3
   • 0
   • 2
   Corect
   

   Incorect
   
7. Întrebarea 7 din 10

   7. Întrebare

   1 puncte
   Sistemul $\left\{\begin{array}{l}x+5y=2\\ 3x+15y=6\end{array}\right.$

   • Două soluții
   • Nu are soluții
   • O singură soluție
   • Are o infinitate de soluții
   Corect
   

   Incorect
   
8. Întrebarea 8 din 10

   8. Întrebare

   1 puncte
   $\left\{\begin{array}{l}x+5y=2\\ 3x+15y=6\end{array}\right.$are ca mulțime de soluții

   • $\left\{\left(-8,1\right)\right\}$
   • $\varnothing$
   • $\left\{\left(-3,1\right)\right\}$
   • $\left\{\left(1,1\right)\right\}$
   Corect
   

   Incorect
   
9. Întrebarea 9 din 10

   9. Întrebare

   1 puncte
   Vasile are 1900 de lei, în bancnote de 200, respectiv 100 de lei. Dacă în total are 12 bancnote, câte bancnote de 200 de lei are Vasile?

   • 7
   • 2
   • 5
   • 10
   Corect
   

   Incorect
   
10. Întrebarea 10 din 10

    10. Întrebare

    1 puncte
    Pentru sistemul $\left\{\begin{array}{l}x+5y=2\\ 3x+5y=-6\end{array}\right.$

    • Nu avem soluții
    • Celelalte răspunsuri sunt greșite
    • Avem o infinitate de soluții
    • Avem o singură soluție
    Corect
    

    Incorect